Anticipations
Méthode :
Pour le bon déroulement de la séquence et notamment du problème de la rencontre et du problème du volcan Aso, il est nécessaire d'anticiper certains points plusieurs semaines/mois avant le début de la séquence :
Travailler les fonctions exponentielles décroissantes : Les fonctions exponentielles décroissantes ont été définies en première dans la spécialité mathématiques et sont exploitées dans l'option Mathématiques complémentaires dans le thème « Évolution modèle continue » avec les résolutions d'équation différentielle \(y'=ay\) et \(y'=ay+b\). Les fonctions du type \(x \mapsto k e^{-\lambda x}\) doivent être travaillées en amont de la séquence pour qu'elles fassent partie des fonctions de référence pour les élèves. Les élèves doivent être capables de passer de la représentation graphique de ce type de fonctions à l'écriture algébrique correspondante (on n'attend pas qu'ils déterminent graphiquement les paramètres). Un formulaire des fonctions de référence peut être à disposition des élèves.
Anticiper la problématique d'une aire finie d'un domaine infini. Cette séance, présentée ci-dessous, peut être traitée dès que le thème "Modèles discrets d'évolution" (suites) a été étudié en classe.
Le paradoxe de l'infini fini
Ce temps d'enseignement doit être fait en amont de la séquence. Cela peut être quelques semaines/mois avant ou juste avant. Il peut être fait dès que les suites aient été étudiées en classe.
Ce travail prend environ deux séances d'une heure : une heure de recherche et une heure de présentations orales et synthèse.
Fondamental : Objectifs et présentation
Il est difficile pour les élèves de concevoir que l'aire d'un domaine infini puisse être finie. Plutôt que de passer sous silence cette problématique, nous souhaitons au contraire qu'une réflexion soit menée en classe sur ce thème. Cette problématique va évidemment susciter des discussions et surprendre les élèves, mais ce travail est indispensable pour éviter un éventuel blocage lors de la recherche du problème du volcan Aso.
Documents pour la classe
Quatre énoncés (un par groupe) : Spirale 1 [pdf] / Spirale 2 [pdf] / Le mur infini 1 [pdf] (paradoxe du peintre) / Le mur infini 2 [pdf] (paradoxe du peintre)
Corrigés : Spirales [pdf] / Paradoxe du peintre [pdf]
Pour aborder cette problématique, nous proposons que les élèves réfléchissent sur des problèmes de longueur de spirales infinies et d'aire de domaines infinis (paradoxe du peintre).
Quatre exercices sont proposés aux élèves :
Spirales
Spirale 1 : une spirale infinie a une longueur infinie
Tracé de la spirale, conjecture sur sa longueur
Conjecture à l'aide d'un programme écrit en Python sur sa longueur
Preuve de la divergence de la mesure de la longueur (la preuve est donnée aux élèves)
Spirale 2 : une spirale infinie a une longueur finie
Tracé de la spirale, conjecture sur sa longueur
Conjecture à l'aide d'un tableur sur sa longueur
Preuve de la convergence de la mesure de la longueur
Le paradoxe du peintre
Le mur infini 1 : une infinité de pots de peinture est nécessaire pour peindre un mur infini
Approximation de la surface à peindre à l'aide de rectangles
Conjecture de l'aire à l'aide d'un tableur
Preuve de la divergence de la mesure de l'aire
Le mur infini 2 : un nombre fini de pots de peinture suffit pour peindre un mur infini
Approximation de la surface à peindre à l'aide de rectangles
Conjecture de l'aire à l'aide d'un tableur
Preuve de la convergence de la mesure de l'aire
Modalités de déroulement
Ce travail se fait sous forme d'un travail de groupe. Chaque problème est traité par un seul groupe. Chaque groupe prépare une présentation orale, type Grand oral, en favorisant la présentation de la démarche et du résultat final. La preuve n'est pas présentée. Elle pourra être un approfondissement pour les élèves dont le projet d'études supérieures nécessite un niveau mathématique plus formel.
Cette modalité de travail en groupe est important pour favoriser déjà le débat dans le groupe. Constituer des groupes hétérogènes peut permettre à chaque élève d'être valorisé.
Chaque élève n'a travaillé que sur une situation, mais a à disposition (via Moodle par exemple) l'ensemble des quatre situations.
La mise en commun est indispensable pour que les élèves puissent comparer les résultats obtenus et prennent conscience de tous les cas de figures : une ligne brisée infinie peut avoir une longueur finie ou infinie et de même, un domaine infini peut avoir une aire finie ou infinie.
Fondamental : Institutionnalisation
Les élèves doivent retenir que la longueur d'une ligne brisée infinie peut être finie et que l'aire d'un domaine infini peut être finie (ce qui est contre-intuitif).
Une petite BD [pdf] pour illustrer la série harmonique.