Plan général de la séquence
La séquence présentée dans cette ressource s'appuie sur le programme de l'option Mathématiques complémentaires.
Remarque :
La séquence aborde spécifiquement des contenus du programme associées aux Lois à densité et à l'Intégration.
Lois à densité : Notion de loi à densité à partir d'exemples. Représentation d'une probabilité comme une aire. Espérance et variance d'une loi à densité, expressions sous forme d'intégrales. Loi uniforme sur \([0,1]\) puis sur \([a,b]\). Loi exponentielle.
Intégration : Définition de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur [a,b] comme aire sous la courbe. Notation \(\int_{a}^{b} f(x)dx\). Relation de Chasles. Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles. Théorème : si \(f\) est continue sur \([a,b]\), la fonction \(F\) définie sur \([a,b]\) par \(F(x) = \int_{a}^{b} f(t)dt \)est dérivable sur \([a,b]\) et a pour dérivée \(f\). Calcul d'intégrales à l'aide de primitives.
La séquence est principalement focalisée sur l'intégration dans le cas particulier des fonctions continues positives. La généralisation aux fonctions continues de signe non constant est faite à la fin de la séquence.
Remarque :
La séquence permet aussi une entrée par les thèmes comme recommandé dans le programme. Elle permet d'articuler les thèmes d'étude Temps d'attente et Calculs d'aires.
Temps d'attente
Descriptif : Certains phénomènes physiques (temps de désintégration d'un atome radioactif) ou biologiques (durée de vie de certains organismes) possèdent la propriété d'absence de mémoire. Leur modélisation mathématique repose sur l'utilisation des lois géométriques et exponentielles selon que le temps est considéré comme discret ou continu. La loi géométrique est vue soit comme la distribution du premier succès dans un schéma de Bernoulli, soit comme une loi discrète possédant la propriété d'absence de mémoire. La loi exponentielle peut être introduite à partir de la propriété d'absence de mémoire.
Calculs d'aires
Descriptif : Des calculs d'aires menés selon différentes méthodes permettent d'aboutir à l'introduction de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b] de ℝ en montrant alors la puissance de calcul qu'apporte dans ce domaine la détermination des primitives. Différentes approches sont possibles : méthodes historiques d'approximation des aires, méthode des rectangles et des trapèzes pour l'aire sous une courbe, méthodes probabilistes et bien sûr le calcul intégral.
Ce thème est l'occasion de revoir les aires des figures planes usuelles : triangles, trapèzes, rectangles, carrés et disques, ainsi que l'utilisation de propriétés classiques : additivité, invariance par symétrie et translation.
Les calculs d'aires par approximations successives se prêtent tout particulièrement à la mise en œuvre d'algorithmes notamment dans le cas d'aires sous des courbes de fonctions dont on ne sait pas déterminer de primitives. Leur histoire et les différentes méthodes peuvent aussi être sources d'exposés réalisés par les élèves.
Ce thème peut s'étendre à des calculs de volumes notamment pour des solides de révolution (cylindre, cône, sphère, paraboloïde de révolution ...).
Remarque : État d'esprit général
Cette séquence de Mathématiques complémentaires a été pensée pour répondre à l'entrée par thèmes demandée par le programme : les contenus (Lois à densité et calcul intégral) sont mis en contexte dans les deux thèmes "Calculs d'aires" et "Temps d'attente". Cette approche met en avant la compétence Modéliser en partant systématiquement de situations concrètes. De plus, la compétence Communiquer (particulièrement à l'oral) est fortement mobilisée, notamment avec un objectif de Grand oral, avec des moments de mises en commun après un temps de recherche (en configuration Grand oral), de reformulations d'une démarche, d'échanges interactifs, de débats... Les compétences Chercher, Raisonner et Représenter sont aussi sollicitées, en revanche la compétence Calculer, bien que présente, n'est pas l'objectif principal contrairement à l'approche traditionnelle du calcul intégral.
Les documents présentés dans cette ressource s'appuient sur une démarche pédagogique par plan de travail, avec des modalités de travail en groupe, en autonomie.
Plusieurs moments de cette séquence sont propices à des évaluations (oral, écrit).
Fondamental :
L'idée générale de cette séquence est d'articuler le calcul intégral et les lois à densité. Le calcul intégral n'est plus un prérequis pour les lois à densité, mais au contraire ce sont des problèmes probabilistes qui vont motiver le calcul intégral. Pour cela, l'enjeu de la séquence est de donner du sens à la notion de fonction de densité.
En Mathématiques complémentaires, la séquence peut durer environ 6 semaines.
Titre | Durée | Contenu | Remarques | |
En amont | Fonctions exponentielles décroissantes | Allure des représentations graphiques des fonctions exponentielles décroissantes | Quelques semaines/mois avant (anticipations) Au moment des équations différentielles | |
En amont | Paradoxe de l'infini fini | 2h | Aborder la problématique de l'aire fini d'un domaine infini | Peut être fait quelques semaines/mois avant (anticipations) Après l'étude des suites |
1 | Histogramme | 2h | Nouvelle rencontre avec les histogrammes Identifier l'axe des ordonnées comme représentant la densité de fréquence | |
2 | Problème du point mobile | 1h-1h30 | Première rencontre avec une variable aléatoire continue Loi uniforme sur un intervalle Identification d'une "courbe de tendance" | |
3 | Problème de la rencontre | 2h-3h | Introduction de la notion de fonction de densité Calculs de probabilités/calculs d'aires élémentaires | |
4 | Problème du volcan Aso | 2h-3h | Réinvestissement des propriétés de la fonction de densité Calculs de probabilités/calculs approché d'aires Méthode des rectangles | |
5 | Cours et exercices |
Fondamental :
Le coeur de cette séquence sont le problème de la rencontre et le problème du volcan Aso. Ces deux problèmes de modélisation ont pour objectif d'introduire la notion de fonction de densité et de motiver le calcul intégral. Les séances qui précédent sont indispensables pour le bon déroulement de ces deux problèmes.
Une vidéo courte
Voici une vidéo de présentation de la séquence telle qu'elle avait été construite dans le cadre du programme de terminale S (en vigueur de 2012 à 2020).
Des adaptations sont nécessaires pour que la séquence présentée dans la vidéo soit mise en œuvre en Mathématiques complémentaires, non pas sur les contenus mais sur les modalités d'enseignement. Nous considérons que les élèves n'ont pas de travail à la maison conséquent à fournir dans le cadre de cette option et que la grande partie du travail doit donc être faite en classe (contrairement à ce qui était fait en terminale S).
Une conférence
Et si on articulait les lois à densité et le calcul intégral au lycée ? Des expérimentations en terminale S, un avenir en maths complémentaires en terminale ?
Sylvie ALORY et Charlotte DEROUET (IREM de Paris et Université de Strasbourg)
Résumé : Dans cette conférence, nous présentons les grandes lignes d'une séquence d'enseignement que nous avons conçue puis expérimentée (à plusieurs reprises) en classe de terminale scientifique, dans le cadre d'un travail collaboratif entre une enseignante et une chercheure en didactique des mathématiques. Cette séquence originale a la particularité de proposer conjointement l'enseignement des probabilités à densité et celui du calcul intégral. Son objectif est de motiver l'apprentissage du calcul intégral, par le biais de l'étude de problèmes probabilistes. Nous insistons particulièrement sur les problèmes de modélisation probabiliste introductifs de la séquence, dont l'objectif est de faire construire aux élèves la notion de fonction de densité de probabilité et de faire naître le besoin de l'outil intégrale. Enfin, dans le contexte actuel de réforme du lycée, nous questionnerons l'avenir possible de cette séquence d'enseignement.
Conférence présentée lors de la 12e édition de la Journée académique Enseignement des mathématiques en Limousin, organisée par l'IREM de Limoges, le 16 janvier 2020.
Un article sur la séquence
Derouet, C., & Alory, S. (2018). Une séquence d'enseignement articulant les lois de probabilité à densité et le calcul intégral en terminale S. Repères IREM, 113, 45–80. Lien : https://www.univ-irem.fr/reperes/articles/113_article_748.pdf